图的同构_图同构的定义离散数学

同构图的概念

基本定义

当我们谈论两个图G和H为同构时，其实质是通过一个特定的映射关系关联二者。这种映射是一种顶点集的双射映射f，它确保G中的任意两个顶点相连，在H中对应的顶点也同样相连。用数学语言描述，即为存在双射f:V→V，满足在G中的边(u,v)与在H中的边(f(u),f(v))具有相同的连接关系。

关键要素概览

顶点双射：这是同构图的核心要素之一，意味着两图的顶点数量完全相同，并且存在一种一一对应的映射关系。

边的一致性：在同构图中，两图的边的连接关系完全相同。换句话说，如果一个顶点在G中与另一个顶点相连，那么在H中相应的顶点也将与另一个顶点相连。

结构等价性：虽然两图的顶点标签或绘制方式可能不同，但它们的形状、度数序列、路径长度等拓扑性质是完全相同的。就像五边形，无论我们如何标记或摆放它的顶点，只要其边的连接方式不变，它的结构就没有改变。

直观理解

想象同构图为同一结构的“变形”。你可以自由移动图的顶点并弹性拉伸边（只要不中断连接），如果可以通过这种方式将一个图转变为另一个图，那么这两个图就是同构的。例如，一个五角星无论其顶点如何命名或位置如何变化，只要其边的连接关系保持不变，它仍然是五角星。

判定方法

确定两图是否同构有一定的判定步骤。必要条件包括顶点数、边数、度序列以及邻接矩阵的特性必须完全相同。仅满足这些条件并不足以确定两图是同构的，因此需要进行充分的验证。这可能需要构建具体的同构映射或通过搜索匹配结构来实现。值得注意的是，目前并没有已知的多项式时间算法可以完全确定两图是否同构，通常需要结合排除法和特殊结构分析来得出结论。